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Números Inteiros

Os números inteiros são os números positivos e negativos. Estes números formam o conjunto dos números inteiros, indicado por ℤ.

O conjunto dos números inteiros é infinito e pode ser representado da seguinte maneira:

ℤ = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,...}

Os números inteiros negativos são sempre acompanhados pelo sinal (-), enquanto os números inteiros positivos podem vir ou não acompanhados de sinal (+).

O zero é um número neutro, ou seja, não é um número nem positivo e nem negativo.

A relação de inclusão no conjunto dos inteiros envolve o conjunto dos números naturais (ℕ) junto com os números negativos.

Todo número inteiro possui em antecessor e um sucessor. Por exemplo, o antecessor de -3 é -4, já o seu sucessor é o -2.

REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA

Os números inteiros podem ser representados por pontos na reta numérica. Nesta representação, a distância entre dois números consecutivos é sempre a mesma.

Os números que estão a uma mesma distância do zero, são chamados de opostos ou simétricos.

Por exemplo, o -4 é o simétrico de 4, pois estão a uma mesma distância do zero, conforme assinalado na figura abaixo:

SUBCONJUNTOS DE ℤ

O conjunto dos números naturais (ℕ) é um subconjunto de ℤ, pois está contido no conjunto dos números inteiros. Assim:

Além do conjunto dos números naturais, destacamos os seguintes subconjuntos de ℤ:

• ℤ* : é o subconjunto dos números inteiros, com exceção do zero. ℤ* = {..., -3,-2,-1, 1, 2, 3, 4, ...}
• ℤ+ : são os números inteiros não-negativos, ou seja ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
• ℤ _ : é o subconjunto dos números inteiros não-positivos, ou seja ℤ_= {..., -4,-3,-2,-1, 0}
• ℤ*+ : é o subconjunto dos números inteiros, com exceção dos negativos e do zero. ℤ*+ = {1,2,3,4, 5...}
• ℤ*_ : são os números inteiros, com exceção dos positivos e do zero, ou seja ℤ*_= {..., -4,-3,-2,-1}

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) CEFET - MG - 2013

Sejam a e b números inteiros. A quantidade de números inteiros existentes no intervalo ] a, b [ é

a) b – a – 1
b) b – a
c) b – a + 1
d) b – a + 2

Ver Resposta

Alternativa a: b – a – 1

2) Faetec - RJ - 2015

Observe o segmento de reta abaixo, dividido em 5 segmentos congruentes:

Nele estão representados seis números reais. A quantidade de elementos do conjunto {A,B,C,D} que representa número inteiro é:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Ver Resposta

Alternativa c: 2

Imagem do vídeo aula numeros inteiros operação expressão adição subtração1

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Potenciação

A potenciação ou exponenciação é a operação matemática que representa a multiplicação de fatores iguais. Ou seja, usamos a potenciação quando um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes.

Para escrever um número na forma de potenciação usamos a seguinte notação:

Sendo a ≠ 0, temos:

a: Base (número que está sendo multiplicado por ele mesmo)
n: Expoente (número de vezes que o número é multiplicado)

Para melhor entender a potenciação, no caso do número 23 (dois elevado a terceira potência ou dois elevado ao cubo), tem-se:

23 = 2 x 2 x 2 = 4 x 2 = 8

Sendo,

2: Base
3: Expoente
8: Potência (resultado do produto)

EXEMPLOS DE POTENCIAÇÃO

52: lê-se 5 elevado à segunda potência ou 5 ao quadrado, donde:

5 x 5 = 25

Logo,

A expressão 52 equivale a 25.

33: lê-se 3 elevado à terceira potência ou 3 ao cubo, donde:

3 x 3 x 3 = 27

Logo,

A expressão 33 equivale a 27.

PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

• Toda potência com expoente igual a zero, o resultado será 1, por exemplo: 50=1
• Toda potência com expoente igual 1, o resultado será a própria base, por exemplo: 81 = 8
• Quando a base for negativa e o expoente um número ímpar, o resultado será negativo, por exemplo: (- 3)3 = (- 3) x (- 3) x (- 3) = - 27.
• Quando a base for negativa e o expoente um número par, o resultado será positivo, por exemplo: (- 2)2 = (- 2) x (- 2) = +4
• Quando o expoente for negativo, inverte-se a base e muda-se o sinal do expoente para positivo, por exemplo: (2)- 4 = (1/2)4 = 1/16
• Nas frações, tanto o numerador quanto o denominador ficam elevados ao expoente, por exemplo: (2/3)3 = (23 / 33) = 8/27

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE POTÊNCIAS

Na multiplicação das potências de bases iguais, mantém-se a base e soma-se os expoentes:

ax . ay = ax+y
52.53= 52+3= 55

Na Divisão das potências de bases iguais, mantém-se a base e subtrai-se os expoentes:

(ax) / (ay) = ax-y

(53) / (52) = 53-2 = 51

Quando a base está entre parênteses e há outro expoente fora (potência de potência), mantém-se a base e multiplica-se os expoentes:

(ax)y = ax.y
(32)5= 32.5 = 310

Exercícios de Potenciação

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

A potenciação é a operação matemática que representa a multiplicação de fatores iguais. Ou seja, usamos a potenciação quando um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes.

Aproveite os exercícios comentados, propostos e questões de concursos para testar seus conhecimentos sobre a potenciação.

Exercícios Propostos

Exercícios Comentados

Questões de Concursos

Exercícios Comentados

1) O valor da expressão 20x3 + 2x2y5, para x = - 4 e y = 2 é:

a) 256
b) - 400
c) 400
d) - 256

Comentário

Para resolver a expressão o primeiro passo é substituir as letras pelos valores, assim a expressão ficará:

20 . (- 4)3 + 2 . (- 4)2 . 25

Devemos ter cuidado com os sinais ao resolver a potenciação. Quando a base é negativa o resultado será positivo se o expoente for par e será negativo quando o expoente for ímpar. Assim, a expressão ficará:

20 . (- 64) + 2 . (+16) . 32

Agora que já resolvemos as potenciações, vamos resolver as demais operações, lembrando que primeiro resolvemos as multiplicações e depois a subtração.

- 1280 + 1024 = - 256

Assim, a resposta correta é a alternativa d.

2) ( 36 . 3-2 ) : 34 é igual a:

a) 0
b) 1
c) 3-3
d) 3-8

Comentário

Podemos resolver a expressão numérica proposta por dois caminhos. Um deles é resolver primeiro cada uma das potências e depois resolver as demais operações. O outro caminho é usar a propriedade da multiplicação e divisão de potências de mesma base. Vamos resolver por esses dois caminhos.

1ª maneira: Vamos resolver o valor de cada potência:

Agora vamos substituir os valores encontrados na expressão e resolver as operações indicadas. Lembrando que devemos resolver primeiro a operação dentro dos parênteses.

Assim, a resposta certa é a letra b.

2ª maneira: Por aplicar a propriedade, devemos lembrar que na multiplicação de potências de mesma base, repete-se a base e soma-se os expoentes. Já na divisão, repete-se a base e subtrai-se os expoentes. Assim, temos:

Lembrando que todo número elevado a zero é igual a 1, chegamos ao mesmo resultado encontrado anteriormente.

Note que na 2ª forma encontramos o resultado mais facilmente. Portanto, é muito importante saber as propriedades da potenciação .

3) Simplificando a expressão abaixo, encontramos:

a) 2
b) 210
c) 215
d) 216

Comentário

Devemos observar que a operação entre as potências de base 2 é a soma. Portanto, teremos que encontrar uma forma de simplificar, pois mesmo tendo as bases iguais não podemos somar.

Uma forma de simplificar é tentar ficar com o mesmo expoente nas duas potências, assim, poderemos colocar em evidência. Para isso, vamos escrever o 267 como 265. 22, substituindo na expressão temos:

Colocando o 265 em evidência, pois se repete nos dois termos e simplificando os termos comuns, temos:

Agora podemos aplicar a propriedade da divisão de potência de mesma base, lembrando que quando não aparece o expoente, seu valor é igual a 1.

Assim, a resposta será a letra d.

Exercícios Propostos

1) Calcule o valor da expressão abaixo:

Ver Resposta

2) Verifique se as sentença são falsas ou verdadeiras:

a) (x . y)4 = x4 . y4
b) (x + y)4 = x4 + y4
c) (x - y)4 = x4 - y4
d) x + y)0 = 1

Ver Resposta

a) verdadeira
b) falsa
c) falsa
d) verdadeira

Questões de Concursos

1) UFRGS - 2015

O algarismo das unidades de 999 – 444 é:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Ver Resposta

Alternativa c: 3

2) UFRGS - 2013

Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente em seu trato digestivo. Esse número de bactérias pode ser escrito como

a) 109
b) 1010
c) 1011
d) 1012
e) 1013

Ver Resposta

Alternativa c: 1011

3) Enem - 2012

A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre.

Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a

a) 3,25.102 km
b) 3,25.103 km
c) 3,25. 104 km
d) 3,25. 105 km
e) 3,25 . 106 km

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Alternativa d: 3,25. 105 km

4) EPCAR - 2011

Simplificando-se a expressão

a) - x -94
b) x94
c) x -94
d) - x94

Ver Resposta

Alternativa a: -x -94

5) Enem - 2016

Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atrações culturais. A experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no evento é triplicado. É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento.

Uma representação possível do número esperado de participantes para o último dia é

a) 3 × 345
b) (3 + 3 + 3) × 345
c) 33 × 345
d) 3 × 4 × 345
e) 34 × 345

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Alternativa c: 33 × 345

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